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完全数

完全数(perfect number)は素数(prime number)に比べて存在感は小さい。

その理由を僕は考えてみた。

まず素数とは何か?

「約数を1と自身以外持たぬ自然数」がその定義である。

そして自然数は、この素数をベースにして表現される。

n = 2α × 3β × 5γ × … (ここで、α、β、γ、…は非負整数)

といったように、全ての自然数n は、α、β、γ、…の組み合わせ如何で一意的に表現される。

素数は、自然数をマッピングする上で必要不可欠な役割を有しているのである。

ベクトル空間における基底のようなものだ。

一方、完全数にそこまでの重みはあるだろうか?

完全数とは、「自身を除く約数の和が、自身になる自然数」である。

まず定義からして、偶然性に基いたものである。

計算してみたら、たまたま同じ数になった、みたいな。

素数のような、強力な性質を有するものではない(現在分かっている範囲で)。

しかし。

僕は、逆にその偶然性、という部分に惹かれるのである。

偶然にも、約数の和が自身になった。

まるで、宝くじにでも当たったような。

しかし、その数は、凛としてそこに存在するのである。

自然数を適当に探していけば、6や28が簡単にその完全性を体現する。

こういった身近な数が完全数だと、珍しくもなさそうな雰囲気を醸し出す。

しかし、こんなに簡単に見つかる数は、彼らしかいない。

「完全」を名乗る権利は、彼らにしかないのだ。

誰が命名したのか知らないが、この「完全」という由来を勝手に考えてみた。

ある自然数から出発して、「自身を除いた約数の和を求める」という行為を繰り返してみよう。

完全数は、この行為を繰り返しても、自身のままだ。

一人で完結した世界を構築している。

完全数は、自身のみで完結しているのだ。

だからこそ得られる、「完全」の称号。

二回この行為を繰り返すと自身に戻ってくる、という自然数もある。

二人だけの世界を築きあげている、というのが友愛数(amicable numbers)だ。

相手の存在があって、初めてその性質を語ることを許される数。

街を行くカップルの指に光るペアリングには、220、284の二つの数が刻まれているのだろう、と僕は思う(ウソ)。

また、社交数という、数回繰り返すと自身に戻ってくる数の組もある。

しかし、大抵は繰り返していくと素数に出くわして、最終的にゼロになって、潰えてしまう運命にある。

たった一人で、誰の手も借りず生きていく。時折感じる孤独にも苛まれながら。

そんな哀愁を完全数に感じている今日この頃です。






完全数について思いを馳せていました。 「博士の愛した数式」を読んで以来、数論に感化されています。

大学入って以来、こういった数学に触れることも少なくなってきました。 塾でバイトしていた頃は、結構レベル高い中学、高校を受ける生徒もいたので、「約数の和を求めよ」みたいな、高度な技術を教える機会もありましたが、今は触れることもありません。

数学って、非常に意味の無い学問だと思います。 いや、学問とは、本来人間の生活に関係なく行われているものであるべきだ、という話を聞いたことがあります。例えば工学などは近年まで学問として扱われにくかったそうです。実用的なものはダメ、みたいな。

しかし、こんな意味の無いものを好んでやっていることこそ、何となく意味があるように思えます。 そして、こういったものに興味がもてないのなら、僕は絶対理学部なんて入らなかったと断言できます。

数学より物理学、とか考えて学科選びはしてませんがね・・・。基準はやはり生活だったと思います・・・。物理学も就職はキツいと思いますが・・・。


ここで完全数のリストをどうぞ。
Mn= 2n - 1:メルセンヌ素数

Pn = Mn(Mn+ 1)/2:完全数

nMn対応する完全数
236
3728
531496
71278128
13819133550336
171310718589869056
19524287137438691328
3121474836472305843008139952128


ちなみに表の最後にある完全数を発見したのは、歴史上最も多産な数学者であったといわれるレオンハルト・オイラーだそうです。この先もまだまだ続きます。現在43個の完全数が見つかっているそうです。1千万桁以上らしいですが。
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  1. 2006/01/16(月) |
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